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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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9. Resolver las ecuaciones:
c) 2cos⁡(x)−3=02 \cos (x)-\sqrt{3}=0 para x∈Rx \in \mathbb{R}

Respuesta

Antes de resolver estos ejercicios te recomiendo que mires los videos de funciones trigonométricas, sino, ver las resoluciones sin entender el por qué te puede llegar a resultar un poco frustrante. ¡Vamos que se puede! 


Como siempre, primero despejamos la función trignométrica que contiene nuestra incógnita, es decir, el cos⁡(x)\cos(x):


2cos⁡(x)−3=02 \cos(x) - \sqrt{3} = 0

2cos⁡(x)=32 \cos(x) = \sqrt{3}

cos⁡(x)=32\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

1. Buscamos en la circunferencia los valores de xx que cumplen dicha condición:
1.1. Definimos los cuadrantes: El coseno de xx es igual a 32\frac{\sqrt{3}}{2}, es positivo, por lo que los valores que buscamos corresponden al primer y cuarto cuadrante.
1.2. Buscamos los valores de xx: De la circunferencia trigonométrica obtenemos dos valores en el intervalo de 0≤x<2π0 \leq x < 2\pi donde cos⁡(x)\cos(x) es igual a 32\frac{\sqrt{3}}{2}:
- x1=π6x_1 = \frac{\pi}{6}, ya que coseno toma el valor de 32\frac{\sqrt{3}}{2} en el primer cuadrante.
- x2=−π6x_2 = -\frac{\pi}{6} o x2=2π−π6=11π6x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}, ya que coseno también toma el valor de 32\frac{\sqrt{3}}{2} en el cuarto cuadrante.

2. Buscamos los valores de xx en los cuadrantes definidos::
Como cos⁡(x)\cos(x) es una función periódica con periodo 2π2\pi, podemos sumar 2πk2\pi k (donde kk es un entero (Z)(\mathrm{Z}) a los valores obtenidos para encontrar las infinitas soluciones generales. (Si no entendés algo de ésto, tranqui, andá a ver los videos de este tema y volvé).
Para x1=π6x_1 = \frac{\pi}{6}:
- x=π6+2πkx = \frac{\pi}{6} + 2\pi k
Para x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6}:
- x=11π6+2πkx = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k
Los valores de xx en R\mathbb{R} que cumplen con 2cos⁡(x)−3=02 \cos(x) - \sqrt{3} = 0 son:
• x=π6+2πkx = \frac{\pi}{6} + 2\pi k;  k \in \mathbb{Z}$ 

• x=11π6+2πkx = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k;  k \in \mathbb{Z}$


Solución:  {π6+2πk:k∈Z}\left\{ \frac{\pi}{6} + 2\pi k: k \in \mathbb{Z} \right\}  ∪\cup  {11π6+2πk:k∈Z}\left\{ \frac{11\pi}{6} + 2\pi k: k \in \mathbb{Z} \right\}


No, no te asustes. Ese k∈Zk \in \mathbb{Z} que aparece es lo que ya charlamos en el video. 
Acordate que cuando no te dan un intervalo donde buscar las soluciones, éstas son INFINITAS. Eso lo expresamos colocando el "+2\pik" luego de cada vallor de xx hallado. Ahora bien, la leyenda k∈Zk \in \mathbb{Z} simplemente significa "con k perteneciente a los números enteros". 
Es sencillamente aclarar qué valores podría tomar k. Así que no te me estreses corazón 😊❤️
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